Si queremos un sistema que haga lo siguiente:
Siendo entonces la respuesta:
ÁLGEBRA DE BOOLE
Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas), es una estructura algebraica que rigoriza las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.
Se denomina así en honor a George Boole, matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. Específicamente, el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico.
PROPIEDADES
CONCEPTOS BÁSICOS DE COMPUERTAS
Podemos hallar la solución a un problema utilizando las variables que estan involucradas en él y haciendo uso de las compuertas lógicas que sean necesarias.
Existen modelos lógicos, que nos permiten solucionar los problemas de diferentes maneras, como lo son el algebra de boole, los mapas de karnauhg, etc... Acontinuación hay unos conceptos básicos que si los identificamos primero antes de empezar a resolver cualquier cosa, hacen mucha más sencilla la solución de los problemas lógicos.
- Literal: Es una proposición elemental o su negación en expresiones lógicas. (A; A´)
- Término producto: Es una serie de literales relacionados mediante un conector de Conjunción (AND). (ABC ; A’BC’D etc)
- Término suma: Es una serie de literales relacionados mediante un conector de Disyunción (OR}9. (A+B’+C; E+D+F etc)
- Término normal: Es un término producto o suma en el cual ninguna variable aparece más de una vez.
- Suma de Productos: Cada fila de una tabla de verdad en la cual la función toma el valor de 1 lógico contribuye a un término producto, usando la variable “positiva” si es 1 en su respectiva columna y su complemento en el caso contrario. Lo anterior es conocido como los minterminos de la función. Finalmente, los minterminos son relacionados mediante la operación de disyunción. Está expansión es única porque se deriva de la tabla de verdad.
- Productos de Sumas: El proceso de encontrar el producto de sumas es exactamente el proceso dual para encontrar la suma de productos. Se deben tomar las filas en las cuales la función toma el valor lógico de 0. Se forma un Maxtérmino haciendo una disyunción de la variable sin complementar si es 0 en su columna correspondiente, y complementada en el caso contrario. Por último se realiza una conjunción entre los Maxtérmino.
VEAMOS UN EJEMPLO:
Tenemos la siguiente tabla de verdad:
- Usando suma de productos, tomamos los minterminos de nuestra tabla de valores y los sumamos para obtener la función: F(X,Y,Z)=X'YZ +XY'Z +XYZ'+XYZ. Generalmente usamos esto para las tablas de valores que tienen más unos que ceros.
- Usando el producto de sumas, tomamos todos los maxtermnos de nuestra tabla de valores y los multiplicamos para obtener la funcion: F(X,Y,Z)=(X'+Y'+Z')(X'Y'Z)(X'YZ')(XY'Z'). Generalmente usamos esto para las tablas de valores que tienen mas ceros que unos.
- Las dos funciones que tenemos son equivalentes, la primera es hecha con mintérminos y la segunda con maxtérminos.
EJEMPLO DE LAS COMPUERTAS LOGICAS
Requerimos un sistema DIGITAL que determine cuando dos de sus tres entradas son iguales.
PRIMERO:
Definimos nuestras variables:
3 Entradas .................... x,y,z
1 Salida........................... Output
SEGUNDO:
Como necesitamos escribir esto de una manera más formal, entonces escribimos las variables de tal forma que en la tabla se haga 1.
- xy'z
- x'yz
- xyz'
- x'yz'
- x'y'z
- xyz'
TERCERO:
Sumamos todas las combinaciones anteriores:
xy'z+x'yz+xyz'+x'yz'+x'y'z+xyz'
AHORA F(X,Y,Z)= (X'YZ)+(XY'Z)+(XYZ')+(X'YZ')+(X'Y'Z)+(XY'Z')
También hay otra forma de hacerlo:
PRIMERO:
Hacemos la tabla de verdad
SEGUNDO
Ahora, tomamos los maxtérminos y luego los multiplicamos:
(x+y+z)(x'y'z')
F(x,y,z)= (x'+y'+z')(x+y+z)
TALLER 1
1. Simplifique por algebra de Boole la siguiente expresión:
(A+C’)*(A’+D+E)*(A’+D’+E)*(A’+C’+E’)
A'+A'(D'+D+E)+E(D+D'+1)
A'+AE+E
A'+E(A+1)
(A'+E)
AC'+AE'+C'A'+C'E'
C'(A+A')+E'A+E'C'
C'+E'A+E'C'
C'(1+E')+E'A
C'+(E'A)
A'C'+EC'
C'(A'+E)
2. Diseñe sistema selector:
El selector funciona de la siguiente forma:
- Si las señales de control, C0 y C1, son iguales a cero, la salida del sistema es igual a D3.
- Si C0=C1=1, la salida es igual a D2.
- Si C0=1 y C1=0 la salida es igual D1.
PRIMERO HACEMOS NUESTRA TABLA DE VERDAD
LUEGO APLICAMOS KARNAUGH
POR MINTERMINOS TENEMOS:
(D3^C0')v(D2^C1)v(D1^C0^C1')
(D3C0')+(D2C1)+(D1C0C1')
Simulando en Winlogic... tenemos lo siguiente:
1. Si las señales de control, C0 y C1, son iguales a cero, la salida del sistema es igual a D3.
2. Si C0=C1=1, la salida es igual a D2.
3. Si C0=1 y C1=0 la salida es igual D1.
(A+C’)*(A’+D+E)*(A’+D’+E)*(A’+C’+E’)
- (A’+D+E)*(A’+D’+E)A'A'+A'D'+A'E+DA'+DD'+DE+EA'+ED'+EE
A'+A'(D'+D+E)+E(D+D'+1)
A'+AE+E
A'+E(A+1)
(A'+E)
- (A+C’)*(A’+C’+E’)
AC'+AE'+C'A'+C'E'
C'(A+A')+E'A+E'C'
C'+E'A+E'C'
C'(1+E')+E'A
C'+(E'A)
- (C'+(E'A))((A'+E))
A'C'+EC'
C'(A'+E)
2. Diseñe sistema selector:
El selector funciona de la siguiente forma:
- Si las señales de control, C0 y C1, son iguales a cero, la salida del sistema es igual a D3.
- Si C0=C1=1, la salida es igual a D2.
- Si C0=1 y C1=0 la salida es igual D1.
PRIMERO HACEMOS NUESTRA TABLA DE VERDAD
LUEGO APLICAMOS KARNAUGH
POR MINTERMINOS TENEMOS:
(D3^C0')v(D2^C1)v(D1^C0^C1')
(D3C0')+(D2C1)+(D1C0C1')
Simulando en Winlogic... tenemos lo siguiente:
1. Si las señales de control, C0 y C1, son iguales a cero, la salida del sistema es igual a D3.
- Si D3=0
- Si D3=1
2. Si C0=C1=1, la salida es igual a D2.
- Si D2=0
- Si D2=1
3. Si C0=1 y C1=0 la salida es igual D1.
- Si D1=0
- Si D1=1
Compuertas Lógicas
Una compuerta es un dispositivo eléctrico o electrónico que cuenta con un terminal de salida y un número determinado de entradas. El potencial de voltaje con respecto a tierra de cualquier terminal de entrada o salida puede tomar uno de solo dos valores específicos. Uno representa verdadero, y el otro falso.
Las compuertas más usadas son AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR, XNOR. Veamos sus respectivas tablas de verdad:
Se hace de la siguiente forma:
Se hace de la siguiente forma:
Se hace de la siguiente forma:
Las compuertas más usadas son AND, OR, XOR, NOT, NAND, NOR, XNOR. Veamos sus respectivas tablas de verdad:
- COMPUERTA AND :
- "La salida es 1 sólo si todas las entradas son 1."
- "Si alguna entrada es 0, todas las salidas son 0."
- COMPUERTA OR:
- "La salida es 0, sólo si todas las entradas son 0"
- "Si algunas de las entradas es 1, todas las salidas son 1"
- COMPUERTA XOR:
- "Cuando las entradas son iguales, la salida es 0"
- "Cuando las entradas son diferentes, la salida es 1"
- Es un comparador.
- COMPUERTA NOT:
- "La salida es 1 si la entrada es 0"
- "La salida es 0 si la entrada es 1"
- Es la negación de la entrada y se puede notar como: A', A!
- COMPUERTA NAND:
- "La salida es 0, sólo si todas las entradas son1".
- Es negar la compuerta AND.
Se hace de la siguiente forma:
- COMPUERTA NOR:
- Es la negación de la compuerta OR.
- "La salida es 0 si alguna de las entradas es 1"
Se hace de la siguiente forma:
- COMPUERTA XNOR:
- Es la negación de la compuerta XOR.
- "Si las entradas son iguales, la salida es 1"
- "Si las entradas son diferentes, la salida es 0"
Se hace de la siguiente forma:
Taller No 2
- Se requiere automatizar el apagado de las luces de un conjunto de oficinas. Estas cuentan con una excelente ubicación espacial, lo que permite aprovechar la luz “día” en toda la jornada laboral. No obstante y debido algunos requerimientos de los empleados, se cuenta adicionalmente con luz artificial. Con el ánimo de ahorrar energía, se necesita diseñar un sistema que detecte cuando debe apagar la luz artificial. Para esto se cuenta con un conjunto de 4 sensores de iluminación, que se pueden modelar como un interruptor (normalmente abierto o cerrado, según requiera el diseño) que cambia su estado dependiendo de la luz ambiental que perciba. Los sensores están muy bien localizados, de tal manera que cuando alguno de ellos percibe que no hay suficiente luz natural, se garantiza que todas las oficinas tienen las mismas condiciones lumínicas. Es importante destacar, que todos los trabajadores de las oficinas abandonan las instalaciones cuando no se tienen las condiciones lumínicas naturales suficientes para realizar sus labores y por tanto las oficinas deben quedar totalmente apagadas y vacías. Realice un diagrama que permita solucionar la situación descrita.
Para este modelo tenemos los 4 interruptores conectados en serie. Es necesario conectarlos así, para que nos cumpla los requerimientos del ejercicio. Inicialmente
, todos los interruptores están cerrados, para que entre luz eléctrica al circuito. Queremos que cuando uno de los interruptores detecte que no hay suficiente luz natural para trabajar cómodamente, entonces se abre y no entra luz artificial a las oficinas, y el personal tiene que salir de ellas, además de ello todas las oficinas quedan en iguales condiciones lumínicas, osea, que ninguna tiene luz.
Más explícitamente tenemos lo siguiente:
También existe otra posibiliadad:
Si los interruptores están abiertos, la luz e
léctrica llega directamente a las oficinas. Cuando cualquier interruptor detecte que no hay suficiente luz natural se cerrará y toda la corriente fluirá por el corto que éste ocacione,por lo tanto no abrá luz eléctrica cuando no halla luz natural.
Más explícitamente tenemos lo siguiente:
2. Una medida para detener el calentamiento global es la búsqueda continua de formas alternativas de energía limpia. Una de ellas, indudablemente, es la energía solar.Actualmente, se cuenta con paneles solares que se mueven con el movimiento del s
ol, para recibir en el transcurso del día, los rayos solares directamente. Obviamente, estos artefactos se quedan inmóviles durante la noche, dado qu e no tienen “a quién seguir”. Sin embargo, algunos diseños deficientes, dejan energizados los circuitos de movimiento todo el día, que consumen electricidad, incluso en las noches. Por tal motivo, se requiere diseñar un sistema que al detectar la noche desenergice el sistema de movimiento. Para ello, se realizará un prototipo funcional con 4 sensores de luz, similares a los del diseño anterior, con un panel solar y motor a escala para evaluar el diseño realizado. Realice un esquema que so
lucione el problema anterior.
Respuesta:
En este caso, inicialmente, los interruptores están cerrados, y el motor está haciendo girar la fotocelda, mientras es de día. Cuando se va oscureciendo, el interruptor que deje de recibir luz se abre; hasta que ninguno de los interruptores reciba luz y el motor deje de funcionar, por ende
la fotocelda deja de girar.
Respuesta:
3. En una sala de cine, se requiere automatizar el proceso de proyección de pelíc
ulas.
El proyector cuenta con una serie de relevos tipo seco que permiten decidir que
acción se debe tomar. El objetivo de este diseño es operar los enmascaramientos
(masking) de la pantalla para evitar reflexiones de luz indeseadas.
Para activar el “masking” es necesario que el proyector este encendido, además que
el lector detecte pista de audio (está puede ser digital o análoga, las cuales tienensensores independientes) o que al poner un sensor de película se detecte que este en
formato cinemascope (parecido al widescreen de
El proyector cuenta con una serie de relevos tipo seco que permiten decidir que
acción se debe tomar. El objetivo de este diseño es operar los enmascaramientos
(masking) de la pantalla para evitar reflexiones de luz indeseadas.
Para activar el “masking” es necesario que el proyector este encendido, además que
el lector detecte pista de audio (está puede ser digital o análoga, las cuales tienensensores independientes) o que al poner un sensor de película se detecte que este en
formato cinemascope (parecido al widescreen de
T.V). Debe también existir la
opción de operar el enmascarmiento de forma manual, en caso que la
automatización falle.
Dibuje un diagrama que solucione la situación.
opción de operar el enmascarmiento de forma manual, en caso que la
automatización falle.
Dibuje un diagrama que solucione la situación.
Respuesta:
Para este caso, debemos definir lo si
guiente:
Interruptor A: Proyector encendido.
Interruptor B: Lector de pistas detecte audio forma digital.
Interruptor A: Proyector encendido.
Interruptor B: Lector de pistas detecte audio forma digital.
Interruptor C: Lectro de pistas detecte audio forma análoga.
Interruptor D: Formato cinemascope.
Interruptor E: Masking manual.
Ahora bien, nos dice el enunciado que para que funcione el masking es necesario que A esté cerrado porque para que pueda haber masking lo prncipal es que el proyector esté encendido.
Ahora bien, nos dice el enunciado que para que funcione el masking es necesario que A esté cerrado porque para que pueda haber masking lo prncipal es que el proyector esté encendido.
Además que A esté abierto es necesaio que B o C o D o E estén cerrados. Es decir si está cerrado cualquiera de estos últimos 4, es posible llevar el masking a cabo.
Más explícitamente tenemos lo siguiente:
Taller No 1
INDIQUE TODOS LOS POSIBLES ESTADOS DE LOS INTERRUPTORES Y DEL BOMBILLO.
A:Interruptor
B:Interruptor
C: Interruptor
F:Foco
a:abierto
c:cerrado
CASO 1:
A:Interruptor
B:Interruptor
C: Interruptor
F:Foco
a:abierto
c:cerrado
CASO 1:
Si queremos expresar lo anterior como una función lógica, debemos tener en cuenta lo siguiente:
1:Cerrado
0:Abierto
CASO 4:
1:Cerrado
0:Abierto
Ahora bien, para que el foco esté encendido necesitamos que tanto A como B, estén cerrados o en 1 como quisimos definirlo, porlo tanto, nuestra función lógica será: A^B.
CASO 2:
De la misma forma que el caso 1, podemos hacer el mismo ejercicio. Esta vez, notando que para que el foco esté encendido, es necesario que A o B estén cerrados. A lo q nuestra función lógica es:
AvB.
CASO 3:
CASO 3:
Para este caso, ahora la función es un poco más compleja para definir, porque tenemos 3 interruptores, sin embargo necesitamos que C siempre esté cerrado y además de eso que uno de los 2 (A o B), esté cerrado. En este caso A y B están en paralelo y B está en serie, por eso Si C siempre está cerrado y alguno de los otros 2 cerrado, entonces el foco estará encendido. Siendo consecuentes con eso, nuestra función lógica es: (AvB)^C.
CASO 4:
Este caso, tiene carácterísticas parecidas al caso anterior, sin embargo, para que el foco esté encendido, es necesario que B esté cerrado, ó, que A y C estén cerrados. Observamos que A y C están en serie, y a su vez estos 2 en paralelo con B. Ahora bien si suponemos que B no existe, A no funciona sin C y viceversa, es decir, aunque A esté cerrado pero C abierto el foco no enciende, o lo contrario, sin C está cerrado pero A abierto, entonces el foco tampoco enciende. Analizando el paralelo, y suponemos que A y C son un solo interruptor, entonces sucede todo lo contrario a lo anterior, B funciona independiente del interruptor formado por A y C, en otras palabras, Si aun cuando B esté abierto, Y el interruptor AC cerrado el foco enciende, o caso contrario, si el interruptor AC está abierto y B cerrado, el foco también enciende. Siendo consecuentes con esto, la función lógica es: (A^C) vB.
CASO 5:
CASO 5:
Para este caso, los interruptores están diseñados de forma distinta. En los ejercicios anteriores, para que el foco esté encendido era necesario que los interruptores estubisen cerrados, es decir nuestra función lógica indicaba estrictamente que el interruptor estaba cerrado. Ahora bien, para este nuevo diseño, es notorio que los interruptores no siempre tienen q estar en un solo estado para que el foco encienda, por ejemplo, A debe estar en Off y B en On para q encienda. Para ello, vamos a establecer lo siguiente:
A On: A
A Off: A'
B On: B
B Off: B'
Ahora siendo consecuentes con lo anterior para que el foco encienda, nuestra función lógica es la siguiente: (A^B') v (A'^B).
CASO 6:
Este último caso es muy parecido al anterior. Nuestra función lógica es (A^B) v (A'^B').
Problemas y ejercicios
Matemáticamente, las señales se representan por funciones
de una o más variables independientes.
1. Señal Continua:
2. Señales Discretas:
3. Señal Cuantizada o Digital:
Bibliografía:
de una o más variables independientes.
1. Señal Continua:
- la función de la señal continua tiene su dominio en la recta real y cada elemento del dominio tiene un único valor en la señal.
- Se representa como x(t).
- Las funciones de las señales continuas están definidas para todos los puntos de un intervalo determinado del conjunto de los numeros reales o su dominio.
2. Señales Discretas:
- La función de la señal discreta, sólo toma valores enteros, es decir, está definida para todos los puntos de un determinado intervalo del conjunto de los numeros enteros.
- Se representa x[t]
- Los computadores y microchips que son utilizados solo manejan señales discretas.
3. Señal Cuantizada o Digital:
- Cada valor que contiene es analizado por magnitudes discretas, en lugar de valores dentro de un cierto rango.
- Por ejemplo, el interruptor de la luz sólo puede tomar dos valores o estados: abierto o cerrado, o la misma lámpara: encendida o apagada.
- Las señales cuantizadas, no solamente son discretas en el tiempo sino también en la amplitud, porque los computadores no son capaces de representar una función continua de amplitud, por ende son representadas con unos y ceros, por ejemplo, voltajes altos unos y voltajes nulos ceros.
- La función que la determina es continua, donde varia su periodo y amplitud con respecto al tiempo.
- Por ejemplo, la tensión, la intensidad, la potencia, presión, temperatura, etc.
- Una señal analógica es un voltaje o corriente que varía suave y continuamente. Una onda sinusoidal es una señal analógica de una sola frecuencia. Los voltajes de la voz y del video son señales analógicas que varián de acuerdo con el sonido o varían de acuerdo con el sonido o variaciones de la luz que corresponden a la informacion que se está transmitiendo.
Bibliografía:
- http://www.des.udc.es/~luis/mt/transparencias/MT_Tema2.pdf
- http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al_digital
- http://es.wikipedia.org/wiki/Se%C3%B1al_anal%C3%B3gica
- http://rodrigocadiz.com/imc/html/Cuantizacion.html
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